反常积分的发散意味着积分在无限处没有确定的值，直观上看，积分结局似乎在趋向无穷大。这种情况在积分运算中并不罕见，尤其在非有限区间上的积分或者当被积函数在某些点上存在不连续性时。当积分收敛时，我们可以说该积分在数学上是有意义的，代表了一个具体的数值。在考研数学中，反常积分的敛散性是重要的考点，尤其在一些选择题中。面对复杂的反常积分或含参积分，许多学生可能会感到困惑，难以找到解题的突破口。
为了解决这个难题，我们介绍一些解决反常积分的常用技巧。定义法是一种直接利用反常积分的定义进行计算的技巧。比较审敛法则是通过比较已知收敛或发散的积分来判断当前积分的敛散性。虽然这些技巧在学说上是有效的，但实际应用中，很多学生可能会遇到一些困难。
当我们遇到复杂的反常积分时，开头来说要明确积分的类型，是在无穷区间上的积分还是在某点存在不连续性的情况。接着，选择适当的技巧进行分析。对于无穷区间上的积分，我们可以通过与已知收敛的积分进行比较来判断其敛散性；对于在某点不连续的情况，我们可以利用积分的定义进行直接计算。
我们还介绍了反常积分敛散性的判别技巧，包括直接计算法、比较判敛法的极限形式、极限审敛法等。每种技巧都有其适用的场景和注意事项。我们还提到了判断反常积分收敛还是发散的四种常用技巧，包括比较判别源法、Cauchy判别法、Abel判别法以及Dirichlet判别法。这些技巧各有特点，需要根据具体情况选择使用。
我们强调了定义法求积分值与判定积分敛散性的重要性，以及反常积分收敛性判定技巧与正项常值级数收敛性判定的比较审敛法的相似之处。我们还注意了一些重要的事项，例如对于同时包含两类反常积分的积分，需要借助积分对积分区间的可加性进行转换；当一个反常积分转换为多少基本的反常积分进行收敛性判定时，只要一项积分发散，则整个积分发散；反常积分同样可以使用“偶倍奇零”化简积分计算，但前提是反常积分收敛。希望通过这些介绍和提醒，能够帮助大家更好地领会和应用反常积分的相关聪明。
